考研數(shù)學(xué)中，微分中值定理是重難點(diǎn)。利用微分中值定理來(lái)證明與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)出導(dǎo)數(shù)值有關(guān)的問(wèn)題是考研當(dāng)中的常考題型，這種類(lèi)型的題大都以綜合題的形式出現(xiàn)的。
考研當(dāng)中對(duì)于這一部分的題目十之六七是用羅爾定理來(lái)證明的。關(guān)于羅爾定理，首先我們一定要掌握羅爾定理的內(nèi)容以及使用羅爾定理的條件。其實(shí)，羅爾這位數(shù)學(xué)家主要是研究方程根的問(wèn)題的，后人為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，就以他的名字來(lái)命名了這個(gè)他們總結(jié)出的定理。考研題型中，關(guān)于微分中值定理這塊，大都以綜合題的形式，往往是一個(gè)題目有兩小問(wèn)的。在研究生入學(xué)考試中，如果一個(gè)問(wèn)題包含有兩個(gè)小問(wèn)題，往往第一個(gè)問(wèn)題是第二個(gè)問(wèn)題的提示，且兩個(gè)問(wèn)題是單獨(dú)給分的。如果不會(huì)證明第一問(wèn)，可以直接利用第一問(wèn)的結(jié)論來(lái)證明第二問(wèn)。對(duì)于中值屬于開(kāi)區(qū)間( )，要證明函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)等于0( 或者 )，這時(shí)我們往往要想到用羅爾來(lái)試著證明，找滿(mǎn)足條件的相等的函數(shù)值。對(duì)于 ，我們找兩點(diǎn)函數(shù)值相等( )，對(duì)于 )，往往要找三個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等( )。
對(duì)于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入學(xué)考試中的應(yīng)用也是我們也是必須掌握的。當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)中值( )時(shí)，要求我們證明存在不同的兩個(gè)點(diǎn) 屬于一個(gè)開(kāi)區(qū)間，使得這兩個(gè)點(diǎn)出的一階導(dǎo)的乘積是個(gè)常數(shù)。
例如，05年考研數(shù)學(xué)一、二中出現(xiàn)過(guò)這樣一題：已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：(1)存在，使得;存在不同的兩個(gè)點(diǎn) ，使得。
此題主要考察了拉格朗日中值定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。題目中第一問(wèn)主要用的是零點(diǎn)定理。對(duì)于這類(lèi)綜合題，有兩個(gè)小問(wèn)，其第二問(wèn)往往會(huì)用到第一問(wèn)的結(jié)論。這里我們主要談第二問(wèn)的證明方法。其有兩個(gè)不同的中值，要證明的是兩個(gè)中值處的導(dǎo)數(shù)的乘積等于一個(gè)常數(shù)，這時(shí)我們不能再用羅爾定理了。由于要求兩個(gè)不同的中值，所以對(duì)于這類(lèi)題，我們首先要保證兩個(gè)不同中值，即劃分區(qū)間，然后分別用拉格朗日定理，或者有些題目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定理。對(duì)本題而言其是用兩次朗格朗日中值定理來(lái)做的。因此，對(duì)于出現(xiàn)兩個(gè)中值的問(wèn)題，我們往往考慮兩種情況：1，用兩次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗日中值定理一次柯西中值定理。
對(duì)于泰勒公式或者叫做泰勒定理的證明題，其往往是已知函數(shù)的范圍和二階導(dǎo)的范圍，讓我們來(lái)求一階導(dǎo)的范圍等等。所用的泰勒公式是帶有拉格朗日余項(xiàng)的。這類(lèi)題型一定要注意三點(diǎn)，1，我們泰勒公式展開(kāi)到幾階;2，到底在哪一點(diǎn)展開(kāi);3，取哪些點(diǎn)帶入公式，組成方程組來(lái)求所有解決的問(wèn)題。
微分中值定理這一部分是研究生入學(xué)考試的重點(diǎn)和難度，希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)，深入掌握。
