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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

 

考試科目代碼：[602]考試科目名稱：高等數(shù)學

 

微積分與線性代數(shù)

 

1、函數(shù)與極限

 

考試內(nèi)容

 

(1)函數(shù)：函數(shù)的概念及表示法；函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)；簡單應用問題的函數(shù)關系的建立。

 

(2)極限：數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無窮小和無窮大的概念及其關系；無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較；極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。

 

(3)連續(xù)：函數(shù)連續(xù)的概念；左連續(xù)與右連續(xù)，函數(shù)間斷點的類型；連續(xù)函數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。

 

考試要點

 

理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式；了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的基本概念；理解極限的概念；理解函數(shù)左極限與右極限的概念，掌握函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系；掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限；理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判別函數(shù)間斷點的類型；了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會應用這些性質(zhì)。

 

2、一元函數(shù)的微積分

 

考試內(nèi)容

 

(1)導數(shù)與微分：導數(shù)和微分的定義，左導數(shù)與右導數(shù)，導數(shù)的幾何意義；函數(shù)的可導性、可微性與連續(xù)性的關系；導數(shù)和微分的四則運算法則，導數(shù)和微分的基本公式；復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法，高階導數(shù)，一階微分形式的不變性。

 

(2)微分中值定理及導數(shù)的應用：微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），洛必達法則，泰勒公式；函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)的最大、最小值；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線。

 

(3)不定積分：原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本性質(zhì)，不定積分的基本公式；不定積分換元積分法和分部積分法；有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

 

(4)定積分：定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分的幾何意義；變上限積分定義的函數(shù)及其導數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法；廣義積分，定積分的應用。

 

考試要點

 

理解導數(shù)的概念及其幾何意義，理解函數(shù)可導性、可微性、連續(xù)性之間的關系；會求平面曲線的切線方程和法線方程；熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則及復合函數(shù)的求導方法，會求反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)；了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)；了解微分的概念，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

 

理解并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理、泰勒公式；熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會用單調(diào)性證明不等式；理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值與最大、最小值的方法，并會求解簡單的應用問題；會判斷平面曲線的凹凸性，會求平面曲線的拐點；會求平面曲線的水平、鉛直漸近線。

 

理解原函數(shù)和不定積分的概念；掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法；會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分；理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功）；了解廣義積分的概念，會計算廣義積分。

 

3、多元函數(shù)微積分

 

考試內(nèi)容

 

(1)多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義；多元函數(shù)的極限和連續(xù)性；偏導數(shù)和全微分，多元函數(shù)可微性、偏導數(shù)存在性、連續(xù)性之間的關系；復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法，二階偏導數(shù)，多元函數(shù)的極值。

 

(2)二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的幾何意義；二重積分的計算。

 

(3)三重積分的概念與性質(zhì)，三重積分的幾何意義；三重積分的計算。

 

(4)曲線積分和曲面積分的概念與性質(zhì)；曲線積分和曲面積分的計算。

 

考試要點

 

了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義；了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念，會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分，了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)；了解多元函數(shù)極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，會求解一些簡單的應用題；了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會交換積分次序。了解三重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握三重積分（直角坐標、柱面坐標）的計算方法。了解曲線積分和曲面積分的概念與基本性質(zhì)，掌握兩類曲線積分和曲面積分的計算方法，掌握格林公式的應用。

 

4、無窮級數(shù)

 

考試內(nèi)容

 

常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性，正項級數(shù)收斂性的判別法，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

 

考試要點

 

理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件；掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x)n的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù)。

 

5、行列式

 

考試內(nèi)容

 

n階行列式、全排列(包括奇排列和偶排列)、逆序數(shù)、對換的概念；二階、三階行列式和逆序數(shù)的計算；特殊行列式的計算：對角行列式、三角行列式；范德蒙德行列式；對換定理；行列式的性質(zhì)及其高階行列式的運算；行列式按行和按列展開的法則；利用克來默法則解線性方程組；根據(jù)系數(shù)行列式的值分析和判斷線性方程組的解。

 

考試要點

 

了解并能運用行列式的基本性質(zhì)計算行列式的值；掌握行列式展開式的計算方法；了解利用克來默法則解線性方程組。掌握并能應用系數(shù)行列式的值分析和判斷線性方程組解的情況。

 

6、矩陣

 

考試內(nèi)容

 

矩陣的基本概念；矩陣的運算：矩陣的加法、數(shù)與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘；逆矩陣的計算；矩陣分塊法；初等矩陣的基本概念、矩陣的初等變換、矩陣的等價、矩陣的秩；行最簡式；矩陣秩的求算；矩陣的三種初等矩陣；初等矩陣與初等變換的性質(zhì)；n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；n元非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

 

考試要點

 

掌握矩陣的概念及運算，了解逆矩陣的概念與性質(zhì)，熟練應用矩陣的初等變換計算逆矩陣和矩陣的秩，對矩陣進行初等變換化行最簡形；熟練掌握應用矩陣的初等變換求線性方程組的解。

 

7、向量組

 

考試內(nèi)容

 

n維向量、向量組的線性相關性、線性組合、線性表示、向量組等價、線性無關、線性相關、最大無關組、向量組的秩、向量空間的基本概念；向量組的線性相關性，向量組線性相關的充分必要條件，向量組的最大無關組與秩；向量組的線性表示與向量組秩的關系；等價的向量組；向量空間，向量空間的子空間；線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，n元齊次線性方程組的解空間以及解空間的基，n元非齊次線性方程組的解空間以及解空間的基；向量的內(nèi)積、正交基、規(guī)范正交基、正交矩陣及相似矩陣的基本概念；矩陣特征值、特征方程、特征向量的計算、特征多項式；正交向量組的性質(zhì)；方陣的特征值與特征向量；施密特正交化過程；特征向量線性無關的條件；相似矩陣滿足的條件；n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件；對稱矩陣的相似矩陣；正定矩陣的判定。

 

考試要點

 

掌握向量的運算法則、向量組的線性相關、線性無關的概念以及有關性質(zhì)，會求向量組的最大無關組和；能熟練求出線性方程組的通解；能應用線性相關、線性無關的性質(zhì)證明相關命題。理解矩陣的特征值和特征向量的概念，會計算矩陣的特征值和特征向量；熟悉矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件，了解對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；能熟練求解n元線性方程組的結(jié)構(gòu)通解；能熟練掌握正定矩陣的判定。